Loading... - 树链剖分可以将一棵树的任意一条路径划分成不超过$O(\log n)$条链，并且满足dfs序，反正就很好啦，维护线段树什么的。。。 - 还可以$O(\log n)$求$lca$，常数小什么的。 ## 树链剖分 ### 定义 - 定义**重子节点**表示其子节点中子树最大的子结点。如果有相同的，任意取。如果没有子节点，就没有。 - **轻子节点**就是剩余的其他子节点。 - 这个节点到重子节点的边叫做**重边**，其他叫做**轻边**。 - 把若干条首尾相连的重边称为**重链**。 - 把单独的节点也当成重链，就把整棵树分成了若干条链。 如图： ### 实现 - 分两个dfs实现： 1. 第一个dfs记录一下子树大小和深度。 2. 记录重子节点，dfs序，当前节点的链顶。 - 代码实现 ```cpp void dfs1(int o, int fat) { son[o] = -1; siz[o] = 1; for (int j = h[o]; j; j = nxt[j]) if (!dep[p[j]]) { dep[p[j]] = dep[o] + 1; fa[p[j]] = o; dfs1(p[j], o); siz[o] += siz[p[j]]; if (son[o] == -1 || siz[p[j]] > siz[son[o]]) son[o] = p[j]; } } void dfs2(int o, int t) { top[o] = t; cnt++; tid[o] = cnt; rnk[cnt] = o; if (son[o] == -1) return; dfs2(son[o], t); //优先对重儿子进行dfs，可以保证同一条重链上的点时间戳连续 for (int j = h[o]; j; j = nxt[j]) if (p[j] != son[o] && p[j] != fa[o]) dfs2(p[j], p[j]); } ``` ### 模板 - [【模板】树链剖分](https://www.luogu.org/problem/P3384)(这应该算树套树了吧qwq) ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n, m, r, p; int v[200009]; struct Edge{ int to, nxt; }e[400009]; int head[200009], tot; int size[200009], dep[200009], fat[200009]; int dfn[200009], top[200009], id[200009]; int son[200009]; //---------------------------------------------- int tree[800009], tag[800009]; //---------------------------------------------- void add(int x, int y){ e[++tot].to = y; e[tot].nxt = head[x]; head[x] = tot; } void dfs1(int x, int fa, int d){ fat[x] = fa; dep[x] = d; size[x] = 1; int maxx = -1; for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){ int y = e[i].to; if(y == fa) continue; dfs1(y, x, d + 1); size[x] += size[y]; if(size[y]>maxx) son[x] = y, maxx = size[y]; } } int cnt = 0; void dfs2(int x, int topp){ dfn[x] = ++cnt; id[cnt] = x; top[x] = topp; if(!son[x]) return; dfs2(son[x], topp); for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){ int y = e[i].to; if(y == son[x] || y == fat[x]) continue; dfs2(y, y); } } //----------------------------------------- void build(int k, int l, int r){ if(l == r){ tree[k] = v[id[l]] % p; return; } int mid = (l + r) / 2; build(k * 2, l, mid); build(k * 2 + 1, mid + 1, r); tree[k] = (tree[k * 2] + tree[k * 2 + 1]) % p; return; } void Add(int k, int l, int r, int w){ tag[k] += w; tree[k] += w * (r - l + 1); tree[k] %= p; return; } void pushdown(int k, int l, int r){ int mid = (l + r) / 2; Add(k * 2, l, mid, tag[k]); Add(k * 2 + 1, mid + 1, r, tag[k]); tag[k] = 0; } void modify(int k, int l, int r, int x, int y, int w){ if(l >= x && r <= y){ Add(k, l, r, w); return; } pushdown(k, l, r); int mid = (l + r) / 2; if(mid >= x) modify(k * 2, l, mid, x, y, w); if(mid < y) modify(k * 2 + 1, mid + 1, r, x, y, w); tree[k] = (tree[k * 2] + tree[k * 2 + 1]) % p; } int query(int k, int l, int r, int x, int y){ if(l >= x && r <= y){ return tree[k] % p; } pushdown(k, l, r); int mid = (l + r) / 2; int res = 0; if(mid >= x) res = (res + query(k * 2, l, mid, x, y)) % p; if(mid < y) res = (res + query(k * 2 + 1, mid + 1, r, x, y)) % p; return res; } //--------------------------------------------- void modify_tree(int x, int y, int w){ w %= p; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y); modify(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x], w); x = fat[top[x]]; } if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y); modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], w); return; } int query_tree(int x, int y){ int res = 0; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y); res += query(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x]); res %= p; x = fat[top[x]]; } if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y); res = (res + query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y])) % p; return res; } int main(){ scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &p); for(int i = 1; i <= n; i++){ scanf("%d", &v[i]); } for(int i = 1; i <= n - 1; i++){ int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); add(x, y), add(y, x); } dfs1(r, -1, 1); dfs2(r, r); build(1, 1, n); for(int i = 1; i <= m; i++){ int op, x, y, w; scanf("%d", &op); if(op == 1){ scanf("%d%d%d", &x, &y, &w); modify_tree(x, y, w); } if(op == 2){ scanf("%d%d", &x, &y); printf("%d\n", query_tree(x, y)); } if(op == 3){ scanf("%d%d", &x, &w); modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + size[x] - 1, w); } if(op == 4){ scanf("%d", &x); printf("%d\n", query(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + size[x] - 1)); } } return 0; } ``` Last modification：March 8, 2020 © Allow specification reprint Like 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏